ケリー基準の計算と限界
勝率の仮定とオーバーベット

1. ケリー基準が最大化するもの

ケリー基準は、勝率と払戻条件が分かっている反復試行で、資金の対数の期待増加を最大にする考え方です。1回の期待利益を最大にすることとは目的が異なります。以下では勝敗が独立で、確率とオッズが一定、借入れや追加費用がなく、資金を細かく分割できると仮定します。

G(f) = p log(1 + bf) + (1 − p) log(1 − f)
p は勝率、b は賭け金を除いた純利益倍率、f は現在資金に対する配分比率です。日本式の払戻倍率を O とすると b = O − 1。0 ≤ f < 1 の範囲で G を最大化する内点解は f* = p − (1 − p)/bです。負の解が出た場合は、賭けない選択を含む制約の下で f = 0 となります。

例えば p = 0.55、b = 10/11 を仮定すると f* = 0.055、すなわち5.5%です。これは入力した勝率が正しい場合の計算結果です。競馬の真の勝率は観測できず、モデルの自信度をそのまま p に入れることはできません。

2. オーバーベットで対数成長率が下がる理由

次の表は勝率60%、払戻倍率2倍（b = 1）という架空の試行です。成長係数は exp(G) であり、毎回この倍率で資金が増えるという意味ではありません。短期間の結果は勝敗の並びによって変わります。

この例の最適値は20%ですが、40%では G がすでに負になります。「ケリーのちょうど2倍で成長ゼロ」は一般に厳密な等式ではなく、小さな有利さの近似で現れる目安です。また最適値を少し超えただけで必ず破産するわけではありません。全額を投じれば最初の敗北で資金を失い、一定割合を投じる場合も連敗による大幅な減少は起こり得ます。

3. フラクショナル・ケリーと推定誤差

算出した f* に0より大きく1より小さい係数 c を掛けるのがフラクショナル・ケリーです。配分を小さくすると1回の資金変動は小さくなりますが、誤った勝率推定を正しくする効果はありません。推定した期待値が正でも、実際には負という場合があります。

上の仮定ではハーフ・ケリーの対数成長率はフル・ケリーの約74.7%、クォーターでは約43.5%です。「約75%」「約44%」はここでは式から確かめられますが、あらゆる勝率・オッズに共通する厳密値ではありません。資金が半減する確率も、試行数・停止条件・確率モデルを定めなければ計算できません。

Busseti・Ryu・Boyd「Risk-Constrained Kelly Gambling」は、対数成長の最大化と資金下落の抑制を別の問題として扱います。この理論は、当サイトの任意の配分比率が安全または最適であることを証明する資料ではありません。

4. 同一レースの複数馬券へ拡張する場合

同一レースの単勝は通常、勝ち馬が1頭という排他的な結果です。一方、ワイドや複勝では複数の買い目が同時に的中する場合があります。単独のケリー式を買い目ごとに計算して足すだけでは、総配分や損失の重なりを適切に扱えません。

各結果 s の確率を pₛ、結果 s で買い目 j の賭け金1に対して戻る金額を Rₛⱼ、配分を fⱼ とすると、資金倍率は 1 − Σfⱼ + ΣRₛⱼfⱼです。その対数を pₛ で加重し、fⱼ ≥ 0、Σfⱼ ≤ 1 などの制約下で考えます。ここでも全結果の確率が必要です。

同時購入数で機械的に割る方法や、予算の10〜15%を別シナリオに割り当てる方法は設計上の目安です。最適配分を保証する解ではありません。追加購入時には既存の馬券も含めて計算し直す必要があります。

5. 計算機の結果を読むとき

最初に確認するのは式よりも入力です。勝率の推定根拠、確定前のオッズ変動、同時に損失が出る買い目、購入単位による丸めを確認します。ケリー資金計算機は仮定を変えたときの数式の動きを見る教材として利用できます。

当サイトのシナリオ別の配分は予算の整理方法です。ケリー理論そのものから利益や全損回避が導かれるわけではなく、購入を見送る選択も含めて読み取ってください。

参考文献・出典

• Busseti・Ryu・Boyd「Risk-Constrained Kelly Gambling」 — 対数成長、下落リスク、配分制約の理論。
• JRA「具体的な払戻計算式」 — 払戻倍率と券種ごとの制度。